圆与椭圆不得不说的事儿
之前分析了圆的直观图椭圆的离心率问题，又陆陆续续有学生问到椭圆的面积问题，椭圆的内接三角形面积最大问题，细细琢磨之后，发现圆与椭圆之间，竟有太多不得不说的事儿
还是源于华二的一道题
1. 椭圆也有“垂径定理”？
我们知道，圆里面有一个很著名的“垂径定理”，简而言之，即垂直于弦的直径平分弦，或者，连结弦中点与圆心所得到的直线垂直于弦，如下图所示
O为圆心，C为AB中点，OC⊥AB，
即OC的斜率与AB的斜率之积为－1
而将圆压成椭圆后，椭圆中也有一个类似“垂径定理”的结论，如下图所示，
假设我们把经过椭圆中心的弦称为“椭圆的直径”，则椭圆的直径与中点在该直径上的弦满足，斜率之积为-b²/a²（此处我们仅考虑一般情况，即斜率存在），推导如下：
可以很容易看出，当a=b时，椭圆退化为圆，此时斜率之积变成-1，所以该定理也即“垂径定理”的更一般形式
2. 椭圆的“直径所对角”？
在圆中，直径所对的圆周角为直角，如下图所示
AC⊥BC，即AC与BC的斜率之积为-1
如果换成椭圆，那么有没有类似的性质呢？假设我们把经过椭圆中心的弦称为“椭圆的直径”，那么椭圆的直径所对的角有什么特征呢？会不会像椭圆的“类似垂径定理”那样，AC与BC的斜率之积为-b²/a²？
我们可以推导，设“椭圆直径”AB方程为y=kx（此处我们仅考虑一般情况，即斜率存在），C点坐标为圆上任意一点坐标（除A、B外），推导如下：
可以发现，当a=b时，椭圆退化为圆，此时斜率之积变成-1，所以该定理即为“直径所对圆周角为直角”在椭圆中的更一般形式
3. 椭圆的切线性质
在圆里面，圆的切线垂直于过切点的直径，如下图所示
C为切点，AB为直径，OC⊥AB，即斜率之积为-1
有了上面的演算和推导，如果换到椭圆中，应该可以轻车熟路地猜想，OC与AB的斜率之积为-b²/a²，推倒如下：
C为椭圆上任意一点，AB为过C点的切线，
同理，当a=b时，椭圆退化为圆，此时斜率之积变成-1，所以该定理即为“圆的切线性质”在椭圆中的更为一般的形式，根据该定理可以求出一边为“椭圆直径”的三角形的最大面积
4. 椭圆的面积
圆的面积公式为πr²，那么椭圆的面积公式呢？我们可以用一点极限的思想来处理。为了方便描述，我们可以在半圆和半椭圆中分析，假设圆的半径为a，椭圆长半轴长为a，短半轴长为b
如图所示，半圆和半椭圆都可以无限分割成无数个小长方形，在横坐标相同的情况下，小长方形的面积之比即A、B两点的纵坐标之比，所以这些小长方形的面积之和的比为a：b，即圆的面积：椭圆的面积=a：b，从而求出椭圆的面积为πab
当a=b时，椭圆退化为圆，此时面积为πa²，所以椭圆面积公式是圆的面积公式的更为一般的形式
5. 椭圆内接三角形的最大面积
在思考这个问题之前，如果没有思路，我们可以先从更为简单一些的圆开始，圆的内接三角形的面积的最大值是多少？也许你不会严格说明，但你肯定能猜到，内接正三角形时面积会最大
a为圆O半径
当然要说明“圆的内接三角形面积最大时为正三角形”，也不是一件轻松的事情，推导如下：假设圆的半径为a
而求椭圆的内接三角形面积的最大值，可以稍作变换，转化为圆的内接三角形问题，如下变换，
同样，当a=b时，退化为圆的结论
6. 椭圆内接四边形面积最大值
如果上面的都掌握了，这个问题就易如反掌了，根据椭圆的平行弦当中经过原点的平行弦最长，四边形ABCD的对角线 AC≤A'C'，BD≤B'D'，
A'C'是与AC平行且经过中心的弦，同理B'D'是与BD平行且经过中心的弦，A''、C''是椭圆的切点，且经过该切点的切线平行于BD，推导如下
由上述推导，可知椭圆中面积最大的内接四边形有无数个，只需满足对角线经过椭圆中心，且两条对角线的斜率之积为-b²/a²即可。
椭圆的最大内接四边形是中心在原点的平行四边形
对角线的斜率之积，任意一组邻边的斜率之积为-b²/a²
过点A的切线与AC的斜率之积为-b²/a²，与BD平行
此时，四边形的最大面积为2ab
当a=b时，即退化为圆的性质
圆（半径为a）的最大内接四边形是中心在原点的正方形
对角线的斜率之积，任意一组邻边的斜率之积为-1
过点A的切线与AC的斜率之积为-1，与BD平行
此时，四边形的最大面积为2a²
对比可以发现，圆和椭圆全是相通的，当熟练掌握了这些，考试中很多关于圆锥曲线面积的相关问题，还有一些关于定值、最值的相关问题，都可以秒杀，然后-b²/a²的相关结论，只要涉及到了，即可减少巨大的运算量，用起来省时又省事，希望今天整理分享的内容对大家有所帮助
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